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SOMMA DEGLI ANGOLI
INTERNI DI UN TRIANGOLO |
E' il teorema, noto sin dalle elementari, che ci dice che la
somma degli angoli interni di un triangolo vale sempre 180°.
Noi lo enunciamo così:
TEOREMA : La somma degli angoli interni
di un triangolo è uguale ad un angolo piatto.
IPOTESI : ABC è un triangolo qualsiasi
TESI: La somma degli angoli interni
α
+ β
+ γ
è uguale ad un angolo piatto
DIMOSTRAZIONE:
Sia ABC un triangolo su cui non facciamo alcuna ipotesi.
Tracciamo (sappiamo che è possibile) la retta r parallela al lato AC
che passa per B.
Si osserva che l'angolo
β1
è uguale a β
perché alterni interni rispetto alla trasversale CB che taglia le
due rette parallele r e AB.
Analogamente l'angolo α1
è uguale a
α perché
alterni interni rispetto alla trasversale AC che taglia le due rette
parallele r e AB.
1° COROLLARIO:
In ogni triangolo ciascun angolo esterno è uguale alla somma dei due
angoli interni non adiacenti. |
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2° COROLLARIO:
Ogni triangolo ha almeno due angoli acuti.
3° COROLLARIO:
In un triangolo equilatero gli angoli interni sono la terza parte di
un angolo piatto (60°)
4° COROLLARIO:
Due triangoli che abbiano due angoli rispettivamente uguali hanno
uguale anche il terzo angolo.
5° COROLLARIO:
Un triangolo non può avere più di un angolo retto od ottuso. |
Dal $° corollario possiamo dedurre una "variante" al
2° criterio di uguaglianza dei triangoli (quello per cui due
triangoli sono uguali se hanno uguali due angoli e il lato tra essi
compreso).
Dal momento che se hanno uguali due angoli anche il terzo lo sarà,
possiamo dire che due triangoli sono uguali se hanno un lato e due
angoli "ordinatamente" (e cioè che sono posizionati rispetto al lato
noto nello stesso modo) uguali. |
| TEOREMA: In un triangolo con due lati
diseguali, anche gli angoli opposti sono diseguali e a lato maggiore
corrisponde angolo maggiore. IPOTESI:
ABC è un triangolo qualsiasi dove il lato AB è
maggiore del lato BC
TESI: L'angolo in C, opposto al lato AB,
è maggiore dell'angolo in B, opposto al lato AC.
DIMOSTRAZIONE:
Se il lato AB è maggiore del lato BC sarà possibile trovare un
punto D su AB tale che AD=AC.
Il triangolo ADC risulta quindi isoscele e quindi gli angoli in ADC
(δ)
ACA (β1)
sono uguali.
Consideriamo il triangolo ADB: l'angolo esterno in D (δ)
è maggiore di ciascuno dei due angoli interni come dal teorema che
abbiamo visto nella dispensa 3 , in
particolare a noi interessa che sia maggiore dell'angolo in A (α).
Dalla figura vediamo che
β1è
compreso dall'angolo β
e quindi β1<
β (angolo
in B del triangolo ABC).
Quindi, ricapitolando:
α è
minore di δ,
che è uguale a β1
e quindi a è anche minore di
β1.
β1
è minore di β
e quindi anche α
a maggior ragione sarà minore di
β, come
volevamo dimostrare. |
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TEOREMA: (inverso di quello che abbiamo
appena visto) In un triangolo con due angoli diseguali, anche i lati
opposti sono diseguali e ad angolo maggiore corrisponde lato
maggiore. IPOTESI: ABC è un
triangolo qualsiasi dove l'angolo in B è maggiore dell'angolo
in A
TESI: Il lato AC, opposto all'angolo in
B, è maggiore del lato BC, opposto all'angolo in A.
DIMOSTRAZIONE:
Intanto escludiamo che i due lati AC e AB siano uguali, perché
per ipotesi gli angoli in A e in B sono diversi e quindi il nostro
triangolo non è isoscele.
Se il lato CB fosse maggiore del lato AC, come abbiamo appena visto,
l'angolo in A dovrebbe essere maggiore dell'angolo in B, che non è
anche questo per ipotesi.
Quindi se CB non è uguale o maggiore di AC può solo esserne minore,
come volevamo dimostrare.
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| TEOREMA: IMPORTANTISSIMO In un
triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due
IPOTESI: ABC è un triangolo qualsiasi
TESI: Il lato AB è minore della somma
dei lati AC e BC.
DIMOSTRAZIONE:
Sul prolungamento del lato AC tracciamo il segmento CD = CB.
Il triangolo BCD è quindi isoscele e gli angoli
δ e
β1
sono uguali.
Consideriamo l'angolo β2
del triangolo ABD, somma degli angoli
β1
e β e
quindi maggiore di β1
e quindi maggiore anche di d.
L'angolo β2
è opposto al alto AD, che è la somma dei due lati AC e CB del
triangolo ACB.
Dai teoremi che abbiamo appena visto il lato AB, opposto all'angolo
δ non può
essere maggiore del lato AD che è opposto all'angoloβ2,
maggiore di δ,
come volevamo dimostrare.
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Dal teorema appena dimostrato se ne deduce
facilmente che :
TEOREMA: IMPORTANTISSIMO In un triangolo
ogni lato è maggiore della differenza degli altri due
Consideriamo un triangolo ABC qualsiasi, dove, per
fissare le idee, sia il lato AC>CB.
Vogliamo dimostrare che AB>AC-CB.Da quello che abbiamo appena
visto AC<AB+BC
Quindi, sottraendo il lato BC ad ambo i membri della diseguaglianza
si ottiene AC-BC<AB .. che è quello che volevamo dimnostrare.
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Qui però voglio fare una parentesi.
Voglio ri-dimostrare questo teorema ma soprattutto questo concetto
in modo ancora più esplicito (anche se meno rigoroso), in modo che
resti ben chiaro e presente.
Questo perché durante i corsi di navigazione capita spessissimo di
dover comporre velocità, quali ad esempio la velocità di un aereo
rispetto all'aria e la velocità del vento per ottenere la velocità
di spostamento dell'aereo rispetto al suolo.
Indipendentemente da quale che sia io calcolo che si fa e da come
sono diretti vento e velocità dell'aereo, deve essere chiaro che mai
e poi mai la velocità rispetto al suolo (terzo lato di un triangolo
i cui altri lati sono da velocità aereo e velocità vento) potrà
essere maggiore della somma della velocità dell'aereo più quella del
vento (caso di vento alle spalle) o minore della differenza tra
velocità dell'aereo e quella del vento (caso di vento frontale).
Se proviamo a costruire un triangolo che abbia un lato più lungo
della somma degli altri due .. semplicemente non ci riusciamo.
Prendiamo tre segmenti, tali che a > b
+c.
Ad una estremità di a appoggiamo il segmento
b e all'altra estremità il
segmento c.
Non esiste un movimento dei due segmenti (vedremo più avanti
parlando di circonferenze e di luoghi geometrici) che li porti a
toccarsi in qualche modo sino a che restano ancorati alle due
estremità di a. |
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CRITERIO DI UGUAGLIANZA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI |
| Per i triangoli rettangoli vale un criterio di eguaglianza
generale, che semplifica un po' le cose quando ci troviamo a
lavorarci sopra: Due triangoli rettangoli sono uguali se hanno
anche (oltre all'angolo retto) altri due elementi (che non siano i
due altri angoli interni) uguali.
Esaminiamo i diversi casi:
Supponiamo che i due triangoli abbiano uguali i due cateti, in
questo caso sono uguali per il 1° criterio di uguaglianza dei
triangoli (due lati e l'angolo tra essi compreso uguali)
Se invece hanno uguali un angolo acuto e un qualsiasi altro lato
sono uguali per il 2° criterio di uguaglianza (un lato e i due
angoli che lo comprendono uguali)
Se invece hanno un cateto e l'ipotenusa uguali si dimostra che:
Si considerino i due triangoli in figura, siccome AB = A1B1
esiste un movimento rigido che permette di ribaltare il secondo
triangolo e spostarlo in modo tale che il lato A1B1
vada a sovrapporsi al lato AB.
Avendo per ipotesi C1B=BC il triangolo C1BC è
isoscele, e quindi sono uguali i due angoli in C1 e C.
A questo punto ricadiamo nel secondo dei casi precedenti |
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NOTA:
Questo vale per i triangoli rettangoli ma non in generale per tutti
i triangoli, ad es. i due triangoli a lato hanno un angolo e due
lati uguali ma non sono uguali. |
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Concludiamo con due teoremi che lascio a voi il compito di
dimostrare facilmente:
Se due triangoli ABC e A1B1C1 hanno
due lati uguali (ad es. AB = A1B1 e AC = A1C1)
e l'angolo tra loro compreso diverso con
α>α1,
allora il terzo lato BC opposto ad a è maggiore di B1C1
opposto ad α1.
E il loro opposto, se due triangoli hanno due angoli a due a due
uguali e il terzo lato diverso, l'angolo opposto al terzo lato più
grande è maggiore dell'angolo opposto al terzo alato più piccolo
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