GEOMETRIA
04 - RETTE PARALLELE

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Sino ad ora abbiamo visto solo dimostrazioni di tipo diretto.
In questo capitolo faremo uso anche di dimostrazioni "indirette", o, per assurdo.
Attenzione.
Sebbene quello che facciamo sia rivolto alla geometria, in realtà il modo di ragionare rigoroso (e non "rigido", che suona male) si può (e si dovrebbe) applicare a qualsiasi tema si stia affrontando.
Ed è proprio, ricordo, questo lo scopo per cui nasce nell'antica Grecia.
Quindi non solo possiamo ragionare dimostrando che necessariamente una certa ipotesi giustifica una certa tesi, ma possiamo anche ragionare all'opposto.
Partiamo dall'ipotesi e NEGHIAMO la tesi.
Andiamo poi a vedere che se le cose fossero così (cioè al contrario di quello che vogliamo dimostrare) si cadrebbe in una assurdo (cioè il ragionamento porta a qualcosa di impossibile o evidentemente sbagliato.

Vi faccio un esempio semplice e disgiunto dalla matematica. Mi piacerebbe che servisse per capire la differenza tra un ragionamento fatto col cervello e un'affermazione "buttata li".
Domanda:
"Perché il cielo è azzurro?".
Alcuni di voi lo sanno, altri ci ragionano su .. ma tutte le volte che ho posto questo quesito in classe qualcuno ha risposto:
"PERCHE' RIFLETTE IL COLORE DEL MARE" .
Fermatevi un attimo su questa affermazione e immaginate, per un secondo, che sia vera.
Cosa comporterebbe?
Banale: dove il mare non si vede (tipo a Milano) il cielo dovrebbe essere color "tetti di Milano" .
Su un bosco? Verde foglia ...
Sul deserto? Color sabbia ..
Quindi anche se non vi dico perché il cielo è azzurro (dipende dall'assorbimento delle radiazioni solari da parte delle molecole di O2 nell'atmosfera, ma non è questo il punto) vi ho dimostrato che l'affermazione comporterebbe conseguenze assurde, e quindi sicuramente non è vera.
Nello stesso modo possiamo ragionare anche in geometria, e ora ne vediamo un esempio.

TEOREMA : Due rette parallele ad una terza sono parallele tra di loro.

IPOTESI: la retta a è parallela alla retta b e anche la retta c è parallela alla retta b

TESI : la retta a è parallela alla retta c

Dimostrazione: Ragioniamo per assurdo: le rette, abbiamo visto, possono essere solo o parallele o incidenti. Se sono parallele non sono incidenti e viceversa (escludiamo il caso di rette coincidenti perché se due o più delle rette fossero coincidenti sarebbero la stessa retta e il teorema sarebbe già dimostrato).
Quindi se le rette a e c non fossero parallele vorrebbe dire che avrebbero almeno un punto P in comune.
Questo vorrebbe dire che per il punto P passerebbero due rette distinte (a e c), ambedue (per ipotesi) parallele alla retta b.
Ma questo contraddice il quinto postulato di Euclide, secondo il quale per un punto esterno ad una retta passa una ed una sola retta a questa parallela.
 

Quindi se a e c non sono parallele tra di loro non possono nemmeno essere tutte e due parallele a b.
Abbiamo quindi dimostrato che a e c sono parallele (come volevamo) perché se non lo fossero non potrebbero nemmeno essere tutte e due parallele a b, che era l'ipotesi.

TEOREMA: Se due rette sono parallele ogni retta incidente ad una è incidente anche all'altra.

Ipotesi Sono date due rette c e b parallele tra loro e una retta a che ha in comune con la retta c un punto (cioè che interseca la retta c).

Tesi : Vogliamo dimostrare che la retta a interseca anche la retta b.

Ragioniamo per assurdo: Se a e b non si intersecassero, sarebbero parallele. E quindi, per il teorema che abbiamo appena dimostrato anche a e c dovrebbero essere parallele, e quindi non possono intersecarsi in P.

RETTE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE
Quando due rette a e b intersecano una terza retta c in due punti distinti, formano con questa 8 angoli, che prendono nomi particolari (che occorre imparare a memoria perché sono "definizioni"). Con riferimento alla figura a lato::
  • Gli angoli che stanno tra le due rette a e b sono "interni"
  • Gli angoli che stanno "fuori" rispetto alle due rette a e b si chiamano "esterni"
  • Quelli che stanno dalla stesa parte rispetto alla retta c si chiamano "coniugati"
  • Quelli che stanno da parti opposte rispetto alla retta c si dicono "alterni"
  • Gli angoli coniugati che sono uno esterno e uno interno si chiamano "corrispondenti"

Nota a parte:
Per favore andatevi a vedere come si pronunciano le lettere greche, che male non fa.
TEOREMA: Se (IPOTESI) due rette tagliate da una trasversale formano:
  1. o due angoli alterni interni uguali
  2. o due angoli alterni esterni uguali
  3. o due angoli corrispondenti uguali
  4. o due angoli coniugati interni supplementari
  5. o due angoli coniugati esterni supplementari

allora (TESI) saranno uguali anche tutte le coppie di angoli alterni interni,alterni esterni e corrispondenti, e saranno supplementari tutte le coppie di angoli coniugati esterni e coniugati interni.

 
Dimostriamo un solo caso, e come esercizio dimostrate, in modo analogo, gli altri.
Se (ipotesi) i due angoli alterni interni γ e ε sono uguali, allora:
  • α = γ perché opposti al vertice
  • ε = η perché opposti al vertice

e quindi anche α = η perché uguali ad angoli uguali.

  • γ e δ sono supplementari
  • γ e β sono supplementari
  • ε e ζ sono supplementari
  • ε e θ sono supplementari

e quindi (tesi) anche β, δ, ζ, θ sono uguali perché supplementari di angoli uguali
così come (sempre tesi):

  • ε e δ sono supplementari
  • ε e β sono supplementari
  • α e ζ sono supplementari
  • α e θ sono supplementari
  • η e δ sono supplementari
  • η e β sono supplementari
  • γ e ζ sono supplementari
  • γ e θ sono supplementari

perché anche qui supplementari di angoli uguali

CRITERI DI PARALLELISMO DI DUE RETTE
Eccoci finalmente al "succo" del capitolo.
Ancora un paio di dimostrazioni e avremo in mano gli strumenti per poter dire se due rette sono o meno parallele.
TEOREMA: Se due rette tagliate da una trasversale formano con questa :
  • due angoli alterni (interno o esterni) uguali o
  • due angoli corrispondenti uguali o
  • due angoli coniugati (interni o esterni) supplementari

allora le due rette sono parallele

IPOTESI: Due rette a e b formano con la retta c due angoli alterni interni uguali (basta dimostrare questo caso in quanto abbiamo appena dimostrato che tutte le altre ipotesi indicate sopra comportano necessariamente i due angoli alterni interni uguali .. e anche tutto il resto, come abbiamo visto nel paragrafo precedente)

TESI : Le due rette sono parallele

DIMOSTRAZIONE:
Ragioniamo per assurdo, se a e b non fossero parallele dovrebbero avere un punto P in comune e quindi detti A e B i punti di intersezione con la retta c avremmo un triangolo ABP che avrebbe (per i teoremi visti prima) i due angoli in A e in B complementari.
Cioè l'angolo in B sarebbe uguale all'angolo esterno in A, in contraddizione col teorema visto al capitolo precedente che vuole che ogni angolo esterno sia maggiore di ognuno dei due angoli interni non adiacenti.
Non potendo avere punti in comune (cioè non potendo formare un triangolo) le due rette a e b devono per forza essere parallele
 

TEOREMA (inverso del precedente): Se due rette sono parallele, allora tagliate da una trasversale formano con essa formano:

  • angoli alterni (sia interni che esterni) uguali

  • angoli corrispondenti uguali

  • angoli coniugati (sia interni che esterni) supplementari

IPOTESI: Due rette a e b sono parallele

TESI : Dobbiamo dimostrare che li angoli alterni interni γ e ε sono uguali

DIMOSTRAZIONE: Anche qui ragioniamo per assurdo e supponiamo quindi che i due angoli siano diversi.
Se fossero diversi sarebbe possibile tracciare una ulteriore retta r che passi per A e che formi con c un angolo γ1 diverso da γ ma uguale a ε.
Se lo facessimo, per il teorema precedente le rette r e b dovrebbero essere parallele.
Ma allora, visto che per ipotesi la retta a è parallela alla retta b e passa per A, avremmo due rette distinte a ed r, ambedue parallele a b che passerebbero per A, e questo è assurdo.

TEOREMA FONDAMENTALE SULLE RETTE PARALLELE:


Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano parallele è che, tagliate da una trasversale formino :

  • angoli alterni (sia interni che esterni) uguali o

  • angoli corrispondenti uguali o

  • angoli coniugati (sia interni che esterni) supplementari

I seguenti corollari provate prima a dimostrarli da soli e solo successivamente  leggete le dimostrazioni.:

COROLLARIO 1:
Se due rette sono parallele anche ogni retta perpendicolare ad una delle due è perpendicolare anche all'altra.

IPOTESI : Le rette a e b sono parallele e la retta c è perpendicolare ad a

TESI: La retta c è perpendicolare anche a b

DIMOSTRAZIONE: Per il teorema fondamentale sulle rette parallele gli angoli (ad esempio) alterni interni γ e ε formati con la trasversale c sono uguali e quindi se uno è retto anche l'altro deve esserlo, pertanto c è perpendicolare a tutte e due.

COROLLARIO 2:
Due rette sono perpendicolari ad una terza sono tra loro parallele

IPOTESI : Le rette a e b sono ambedue perpendicolari alla retta c

TESI: Le rette a e b sono parallele

DIMOSTRAZIONE: Per ipotesi gli angoli (ad esempio) alterni interni γ e ε formati dalle due rette a e b  la trasversale c sono retti e quindi sono uguali.
Di conseguenza, per il teorema fondamentale sulle rette parallele a e b sono parallele perché formano con c angoli alterni interni uguali.

COROLLARIO 3:
Le perpendicolari a due rette incidenti sono anch'esse incidenti

IPOTESI : Le rette a e b sono incidenti (non sono parallele) e le rette c e d sono perpendicolari rispettivamente ad a e a b

TESI: Le rette c e d sono incidenti (non sono parallele)

DIMOSTRAZIONE: Le due rette a e b sono incidenti in C, mentre le due perpendicolari c e d sono incidenti rispettivamente ad a in A e a b in B.
Con riferimento alla figura a lato, se io traccio il segmento AB (unendo i punti A e B) questo forma con le rette c e d due angoli α1 e β1 che sono interni ai due angoli retti α e β .
Essendo α e β retti gli angoli α1 e β1 sono più piccoli di due angoli retti e di conseguenza la loro somma non è un angolo piatto, cioè non sono supplementari.
Allora le rette c e d non sono parallele in quanto hanno due angoli corrispondenti non supplementari.

 

 

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