Si dice PROIEZIONE DI UN PUNTO A su una retta r il piede A' della retta perpendicolare a r condotta da A.

Si dice PROIEZIONE DI UN SEGMENTO AB su una retta r il segmento A'B' che ha per estremi i punti A'B' proiezioni dei due punti A e B estremi da AB sulla retta r.

TEOREMA: Il segmento perpendicolare condotto da un punto ad una retta è il minore tra tutti i segmenti obliqui condotti dallo stesso punto alla medesima retta.

DIMOSTRAZIONE :
Consideriamo il triangolo AA'A'', è un triangolo rettangolo perché per ipotesi AA' è perpendicolare a r (A'A'').
Quindi l'angolo in A' è sicuramente maggiore di ciascuno degli altri due e di conseguenza anche il segmento AA' opposto all'angolo in A' è maggiore di ciascuno degli altri due (in un triangolo ad angolo maggiore sta opposto lato maggiore)

E già che ci siamo facciamo questa osservazione:

COROLLARIO: In un triangolo rettangolo l'ipotenusa è sempre maggiore di ciascuno dei due cateti.

IPOTESI: AB è un segmento obliquo portato dal punto A sulla retta r e A'B è la sua proiezione su r.
AC è un qualsiasi segmento portato da A ad r ed è A'C=A'B

TESI: AB e AC sono uguali.

DIMOSTRAZIONE:
(prima di leggerla però provateci da soli)
I triangoli AA'B e AA'C hanno:
AA' in comune
L'angolo in A' retto per ipotesi e quindi uguale
A'B=A'C per ipotesi

Sono quindi uguali e di conseguenza anche i lati AB e AC sono uguali come volevamo dimostrare.

IPOTESI: AB è un segmento obliquo portato dal punto A sulla retta r e A'B è la sua proiezione su r.
AC è un qualsiasi segmento portato da A ad r ed è A'C<A'B

TESI: AB e AC sono diseguali e AC<AB

DIMOSTRAZIONE:
Se A'C<A'B è possibile riportare su AB il punto C' tale che A'C' = A'C.
Siccome AA'C è rettangolo, sicuramente l'angolo in C' di questo è acuto, di conseguenza il suo angolo esterno sarà ottuso.
Quindi nel triangolo AC'B l'angolo in C' è ottuso e quindi è maggiore di ciascuno degli altri due.
Ne consegue che AC'<AB, opposto all'angolo maggiore, come volevamo dimostrare.

LUOGHI GEOMETRICI E ASSE DI UN SEGMENTO

TEOREMA: L'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dai suoi estremi.

DIMOSTRAZIONE: Abbiamo detto per ipotesi che M è il punto medio di AB e che r è perpendicolare ad AB.
Allora tutti i segmenti condotti da un qualsiasi punto P .. P' di r ad A e a B sono le "oblique" delle proiezioni MA e MB, uguali per ipotesi.
Quindi anche tutti i segmenti PA sono uguali ai segmenti PB comunque su scelga P su r.
In questo modo abbiamo dimostrato che TUTTI i punti di r sono equidistanti da A e B

In realtà questo non basta, dobbiamo anche dimostrare che se AP = PB il punto P appartiene a r.
Cioè dobbiamo dimostrare anche che TUTTI i punti equidistanti da A e da B appartengono alla retta r.

Lo dimostriamo osservando che il triangolo APB è isoscele (questa volta AP=PB per ipotesi) e di conseguenza la retta r che è mediana del lato AB è anche altezza di APB e quindi passa per P.
Ne consegue che se due rette sono simmetriche rispetto ad un asse r il punto P di intersezione tra una retta e l'asse è anche punto di intersezione tra l'altra retta e lo stesso asse.

Siano r₁ ed r₂ due rette incidenti.
Consideriamo inizialmente i due angoli α e γ , vogliamo dimostrare che le due bisettrici dei α e γ sono allineate (cioè sono la stessa retta).
Tracciamo quindi la bisettrice del solo angolo α e prolunghiamola. Ci basterà dimostrare che gli angoli γ₁ e γ₂ che forma con le rette r₁ ed r₂ sono uguali e quindi che è la bisettrice anche dell'angolo γ.
Basta osservare che γ₁ e α₁ sono uguali perché opposti al vertice, così come γ₂ e α₂.
Pertanto essendo α₁=α₂ anche γ₁=γ₂ e siccome la loro somma è γ abbiamo dimostrato che r₁ è anche bisettrice di γ, e che quindi le bisettrici di due angoli opposti al vertice sono allineate.
Ora dobbiamo dimostrare che b₂ è perpendicolare a b₁ .
Possiamo lavorare così:
α e β sono supplementari cioè la loro somma è un angolo piatto.
Ma β₁ e α₂ sono la metà di β e di a e quindi siccome α/2+β/2 è uguale a (α+β)/2 e cioè alla metà di un angolo piatto anche β₁+α₂ è la metà di un angolo piatto, cioè un angolo retto.
Quindi b₁ e b₂ sono tra loro perpendicolari.

Lo dimostriamo solo per una bisettrice, la stessa dimostrazione vale ovviamente anche per l'altra.
Cominciamo col dimostrare che PH₁=PH₂ e cioè che tutti i punti che stanno sulla bisettrice b₁ sono equidistanti dalle due rette r₁ ed r₂.
PH₂O e PH₁O sono uguali in quanto hanno:
PO in comune
L'angolo in O uguale per ipotesi (b₁ è la bisettrice)
Sono ambedue rettangoli.
Sono quindi uguali per il criterio generale di uguaglianza dei triangoli rettangoli (hanno anche un lato e un angolo uguali)
Quindi Tutti i punti che stanno sulla bisettrice sono equidistanti dalle due rette.
Ora resta da dimostrare che se un punto è equidistante dalle due rette sta anche sulla bisettrice.

Ipotizziamo ora che PH₁ si uguale a PH₂
i triangoli PH₂O e PH₁O sono di nuovo uguali in quanto hanno:
AO in comune
PH₂=PH₁ per ipotesi
Sono quindi due triangoli rettangoli che hanno uguali l'ipotenusa e un cateto, e sono quindi uguali.
Come volevamo dimostrare.

POLIGONI

I vertici e i lati della poligonale sono anche vertici e lati del poligono.

Osservando la figura a lato gli angoli α β γ δ ε ζ sono gli angoli interni del poligono,
mentre gli angoli α₁ β₁ γ₁ δ₁ ε₁ ζ₁ sono gli angoli esterni.
Un segmento che unisce due vertici non consecutivi si chiama "diagonale" (ad es. AE o AD), mentre un segmento che unisce due punti del contorno non appartenenti allo stesso lato si dicono "corda" (ad es. MN o MP)

TEOREMA: In un poligono ciascun lato è minore della somma di tutti gli altri lati.

E' analogo a quello che abbiamo già visto per i triangoli lo dimostriamo così:

Tiriamo le diagonali per A a D e a C.
Sappiamo che ogni lato di un triangolo è minore della somma degli altri due, quindi:

AB<BC+AC
AC<CD+AD
AD<AE+ED

Sommando membro a membro
 

AB+AC+AD<BC+AC+CD+AD+AE+ED

Tirando via i termini uguali (AC e AD)

AB<BC+AD+AE+ED

Come volevamo dimostrare.
 

Come si vede dalla figura a lato è sempre possibile scomporre un poligono convesso in tanti triangoli quanti sono i lati, aventi tutti un vertice in comune e a due a due adiacenti.
Come sappiamo la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto e di conseguenza per un poligono di n lati è n volte un angolo piatto.
Per avere la somma degli angoli interni del poligono (che sono a due a due la somma degli angoli interni dei triangoli in cui lo abbiamo scomposto) basterà quindi sottrarre l'angolo giro formato dagli angoli consecutivi al centro.

Detto π il valore di un angolo piatto ne ricaviamo che per un poligono di n lati la somma degli angoli interni è nπ-2π o, se preferite

 S (somma angoli interni) = (n-2)π.

Ricordo che ogni angolo esterno è il supplementare dell'angolo interno adiacente.
 

Quindi la somma degli angoli interni più gli angoli esterni è uguale a tanti angoli piatti quanti sono i vertici (e quindi i lati) del poligono.

Se a questa somma togliamo la somma degli angoli interni otteniamo la somma dei soli angoli esterni.
Procedendo

S₁ (somma degli angoli esterni) = nπ-(nπ-2π) cioè nπ-nπ+2π
e quindi S₁= 2π

SIMMETRIE

DEFINIZIONE: Due figure si dicono simmetriche rispetto ad una retta r se ogni punto dell'una è simmetrico rispetto a r di ogni punto dell'altra e viceversa.

In una simmetria ad ogni punto di una figura corrisponde uno ed un solo punto dell'altra.
Questi punti si dicono corrispondenti o omologhi o immagine l'uno dell'altro.

 

PM in comune
P retto
BP=PB' per ipotesi.

Sono quindi uguali per il 1° criterio di uguaglianza dei triangoli.

Prendiamo ora MBA e MB'A' anch'essi sono uguali perché hanno

AM=MA' per ipotesi
β=β₁ in quanto complementari degli angoli uguali α e α₁
BM=B'M perché lati corrispondenti dei triangoli uguali MBP e MB'P.

Sono quindi uguali per il !° criterio di uguaglianza dei triangoli

E quindi anche AB=A'B' , come volevamo dimostrare.

1. Due figure simmetriche sono uguali
2. La figura corrispondente ad una retta è una retta
3. A rette parallele corrispondono rette parallele
4. A due rette incidenti che formano un angolo α corrispondono due rette incidenti che formano un uguale angolo α.

1. Un triangolo isoscele ha come asse di simmetria la retta su cui giace l'altezza relativa alla base.
2. Un triangolo equilatero ammette tre assi di simmetria
3. Un triangolo scaleno non ammette alcun asse di simmetria
4. Nessun triangolo, e in genere nessun poligono con numero dispari di late ammette un centro di simmetria.

QUADRILATERI PARTICOLARI

1. Due lati privi di vertici in comune
2. Due angoli privi di lati in comune
3. Due vertici non appartenenti ad uno stesso lato

• Un parallelogramma qualsiasi
• Un quadrato (tutti i lati uguali e tutti gli angoli retti)
• Un rettangolo (tutti gli angoli uguali e di conseguenza retti)
• Un rombo (tutti i lati uguali)

1. Le diagonali (sono solo due) si intersecano in un punto.
2. Le diagonali si tagliano scambievolmente a metà.
3. I due triangoli in cui esso rimane diviso da una diagonale sono uguali
4. I lati opposti sono uguali.
5. Gli angoli opposti sono uguali
6. Gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari
7. Ogni parallelogramma è una figura simmetrica rispetto al punto O di intersezione delle sue diagonali.

Lascio a voi le dimostrazioni come esercizio.
 

1. Un quadrilatero le cui diagonali si tagliano scambievolmente per metà è un parallelogramma
2. Un quadrilatero con i lati opposti a due a due uguali è un parallelogramma
3. Un quadrilatero con gli angoli opposto a due a due uguali è un parallelogramma
4. Un quadrilatero con due lati opposti e paralleli è un parallelogramma

Si dice rettangolo un quadrilatero con tutti gli angoli uguali

Si dimostra che:

1. In un rettangolo tutti gli angoli sono retti
2. I lati opposti sono a due a due uguali
3. Le diagonali di un rettangolo sono uguali
4. Il rettangolo ammette come assi di simmetria le due rette passanti per il centro e perpendicolari ai lati

Si dice rombo un quadrilatero con tutti i lati uguali

Si dimostra che:

1. Le diagonali di un rombo sono perpendicolari
2. Le diagonali bisecano gli angoli interni
3. Le diagonali sono assi di simmetria per il rombo

Si dice quadrato un quadrilatero con tutti i lati uguali e tutti gli angoli uguali
Direi "ovviamente" gode di tutte le proprietà del rettangolo e del rombo oltre a quelle comuni a tutti  i parallelogrammi.

Siano r e t due rette parallele, prendiamo su r due punti A e B e siano A' e B' le proiezioni di A e B su t.
Il quadrilatero ABB'A' è un rettangolo, avendo tutti gli angoli retti.
Pertanto ha anche i lati opposti a due a due uguali.
Come volevamo dimostrare.

Da questo teorema discende la definizione di "distanza tra rette parallele" che è la distanza tra un punto qualunque di una retta e l'altra retta.
E l'affermazione che "la distanza tra due rette parallele è costante"

Sia ABC un triangolo qualsiasi e sia M il punto medio del segmento AB.
Portiamo da C un segmento CM'' parallelo ad AB di lunghezza pari ad AM (e quindi anche a MB).
Uniamo M con M''.
I triangoli MM'B e CM'M'' sono uguali perché :

MB=CM'' per costruzione
L'angolo in C = angolo in B perché alterni interni della trasversale BC che taglia le parallele CM'' e MB
L'angolo in M = angolo in M'' perché alterni interni della trasversale MM'' che taglia le parallele CM' e MB

Sono quindi uguali per il 2° criterio di uguaglianza.

Abbiamo quindi che BM' = M'C (il segmento MM'' taglia il lato BC in due parti uguali)
AM è parallelo e uguale a CM'' per costruzione
Quindi il quadrilatero AMM''C è un parallelogramma.
E quindi MM'' è parallelo ad AC.

• Nei trapezi i due lati paralleli vengono chiamati BASI e si riconosce una BASE MAGGIORE e una BASE MINORE.
• I lati opposti non paralleli vengono chiamati LATI OBLIQUI o anche semplicemente LATI
• In tutti i trapezi gli angoli adiacenti a ciascuno dei due lati obliqui sono supplementari (coniugati interni rispetto al lato trasversale che taglia le due basi parallele)
• Un trapezio si dice RETTANGOLO se se uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi
• Un trapezio si dice ISOSCELE se i due lati obliqui sono uguali.

TEOREMI (per i trapezi isosceli)
Nei trapezi isosceli (con riferimento alla figura a lato)

1. Le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore sono uguali (AH' = DH)
2. Gli angoli adiacenti a ciascuna base sono uguali
3. L'asse (r) di una base è asse anche dell'altra
4. Tale retta (r) è asse di simmetria del trapezio e su di essa si incontrano le diagonali e le due rette a cui appartengono i lati obliqui
5. Le diagonali sono uguali

Si consideri il trapezio isoscele ABCD su base maggiore AD.
Si portino da Ce D, estremi della base minore, le proiezioni H e H' sulla base maggiore AD.
I triangoli rettangoli ABH' e CDH sono uguali in quanto hanno
Le ipotenuse uguali per ipotesi
Il cateto BH' = CH perché distanza tra le due rette BC e AD parallele.
Ne consegue l'eguaglianza degli angoli A e D e B e C e delle proiezioni AH' di AB e HD di CD.

Consideriamo i triangoli ABD e ADC
Sono uguali in quanto hanno
AD in comune
AB=CD per ipotesi
Gli angoli in D e in A uguali perché lo abbiamo appena dimostrato.

Ne consegue che la diagonale AC = BD