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Johann Heinrich Lambert nasce a Mulhouse, in Alsazia
nel 1728.
Lascia la scuola e comincia a lavorare come sarto nella bottega del
padre a 12 anni.
Nonostante ciò continua a studiare per conto suo, aiutato da Daniel
Bernoulli (si, proprio quello del teorema di Bernoulli), e già nel
1746 pubblica i suoi primi studi.
Tra le sue amicizie figurano tutti i più importanti matematici e
fisici del tempo, tra cui Eulero.
Oltre che nella cartografia si espresse nella matematica pura, è a
lui che si deve la dimostrazione dell'irrazionalità del pi greco. |
| La carta di Lambert è una costruzione interamente
matematica piuttosto complessa che fa riferimento alla proiezione
conica. |
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La proiezione conica si ottiene proiettando appunto
tutti i punti della sfera su di una superficie conica a questa
tangente.
La semplice proiezione conica, ottenendo deformazioni di diversa
entità nel senso della latitudine e della longitudine, non è però
isogona.
Lambert ebbe appunto il merito di renderla tale apportando delle
modifiche nell'algoritmo costruttivo. |
In queste pagine non ci occupiamo della vera e
propria costruzione di Lambert, ma semplicemente, partendo dalle
caratteristiche di una proiezione conica, vediamo come si può
riprodurre il reticolo geografico di una proiezione conica
modificata semplicemente correggendo le deformazioni nel senso della
latitudine (cioè mantenendo costante nella nostra costruzione il
valore del grado di latitudine).
Questo non è l'algoritmo di Lambert, che invece, per mantenere l'isogonia,
comporta variazioni sensibili nella rappresentazione delle
distanze nel senso della latitudine per renderle compatibili con le
deformazioni che incontriamo nel senso della longitudine.
E' però, se consideriamo un intervallo di latitudine
sufficientemente ridotto, una buona approssimazione. |
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Proiezione conica standard - raggio del parallelo
fondamentale.
Il raggio R0 di
curvatura del parallelo fondamentale è la prima proprietà da
individuare nella nostra proiezione.
Da qui partiremo per costruire la nostra carta.
Dalla figura, ricordando semplicemente le definizioni delle funzioni
trigonometriche fondamentali, vediamo come il raggio
R0 sia proprio la
cotangente della latitudine
φ,
ovviamente moltiplicata per il raggio della sfera R. |
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A questo punto dobbiamo trovare l'angolo
π.
Questo ci servirà per calcolarci il fattore di convergenza n =
α/360° che ci
permetterà di tracciare i meridiani.
Come vediamo dalla figura a destra, l'arco che sulla nostra
proiezione rappresenterà il parallelo fondamentale (la base del
cono) è uguale (fate riferimento al cono "srotolato" sul piano) è
2π*R0*α/360°(cioè
la circonferenza di raggio R0,
divisa per 360° e moltiplicata per l'arco
a.)
Ma lo sviluppo dello stesso parallelo vale anche 2π*R1(è
la base del cono o, se preferite, la circonferenza costruita
tagliando la sfera col piano che definisce il parallelo
fondamentale).
Vale quindi la relazione:2π*R0*α/360°=2π*R1
Ricordando che il fattore di convergenza n era proprio n =
α/360° scriveremo:
2π*R0*n=2π*R1
Sempre ricordando semplicemente le definizioni delle funzioni
trigonometriche, si riconosce come sia R1=
R*cosφ.
Nello stesso modo ricordiamo che R0=
R*cotφ e ancora (sempre le proprietà
fondamentali delle funzioni trigonometriche) cotφ=cosφ/senφ.
Sostituiamo nella relazione precedente e troviamo:
2π*R*cosφ/senφ*n=2π*R*cosφ
Che si semplifica dividendo ambo i membri per i
termini comuni 2π, R e cosφ.
n/senφ=1
Che è come dire:
n=senφ
Riassumendo, le relazioni fondamentali necessarie
alla costruzione della nostra proiezione conica sono poi abbastanza
semplici:
R0=
R*cotφ
e
n=senφ
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| Disegniamo adesso in modo approssimato la nostra
proiezione di Lambert, dati il parallelo fondamentale e l'intervallo
di longitudine per il quale vogliamo rappresentarla. |
Si voglia ad esempio costruire la proiezione sul
parallelo fondamentale di lat. 40° N, tracciando paralleli e
meridiani distanziati sia in latitudine che in longitudine di 10°.
Supponiamo che il raggio della nostra sfera sia di 1 metro (1000
mm).
Individuato il centro della proiezione (diciamo "il Polo
Nord")calcoliamoci R0
come 1000*cot 40° = 1191mm.
Con apertura di compasso 1191 puntiamo sul nostro Polo Nord e
tracciamo un arco di circonferenza che rappresenterà il nostro
parallelo fondamentale.
Adesso calcoliamoci quanto valgono nella nostra scala i 10° di
latitudine.
Volendo mantenere inalterata la scala lungo la latitudine
(approssimazione che non corrisponde alla costruzione di Lambert, ma
abbastanza corretta per i nostri scopi), saranno 10°
Δφ= 1000*2π*10/360
= 174mm.
Tracciamo quindi i paralleli di latitudine Nord 50° e 60°
e poi 30° e 20° tracciando altri archi con centro nel
nostro Polo Nord e distanziati tra loro di 174mm.
Calcoliamoci n=sen 40° = 0.642.
I nostri meridiani da tracciare ogni 10° di longitudine saranno
quindi archi di 10°*0.642 = 6.42°.
Tracciamoli.
Cancelliamo la parte che non ci serve (la parte dei meridiani più a
Nord del 60° parallelo) e avremo al nostra proiezione. |
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Se con lo stesso procedimento tracciamo le
proiezioni riferite al 40°, al
60° e al
20° parallelo (ad esempio), sovrapponendole possiamo
vedere come queste non combacino affatto (era ovvio, essendo diversi
sia R0 che n,
funzioni delle diverse latitudini).
Questo a conferma di quanto già sapevamo, e cioè che le nostre
proiezioni rappresentano con fedeltà la sfera terrestre solo
nell'intorno della linea (in questo caso un parallelo) di tangenza.
Quando ci allontaniamo dalla isomecoica (è così che si chiama questa
linea, per qualsiasi tipo di proiezione) la nostra rappresentazione
diventa meno precisa e le deformazioni si fanno più sensibili, fino
a degenerare decisamente.
Gli esempi sono volutamente stati svolti su intervalli di latitudine
piuttosto cospicui per evidenziare le deformazioni
e le imprecisioni cui si va incontro, ad esempio, affiancando due
carte che rappresentino due zone attigue.
Come potete a questo punto intuire, avendo l'accortezza di inclinare
le due cartine in conformità alla convergenza dei meridiani, se le
affianchiamo nel senso Ovest-Est sostanzialmente non incontriamo
differenze.
Se invece le sovrapponiamo parzialmente in senso Sud-Nord le
deformazioni reciproche possono essere piuttosto evidenti. |
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